中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，使得。积分第二中值定理为前者的推广，即若在[a,b]上连续，且在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点，使得。

一、微分中值定理的应用方法与技巧

三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设在[0,1]上连续可导，且。证明：任意给定正整数，必存在(0,1)内的两个数，使得成立。

证法1：任意给定正整数，令，则在[0,1]上对应用柯西中值定理得：存在，使得。

任意给定正整数，再令，则在[0,1]上对应用柯西中值定理得：存在，使得（例九三、微分、积分中值定理的综合应用

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