【选修4-4】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left \{ {{\begin{array}{ll} {x=1+tcos\alpha } \\\ {y=2+tsin\alpha } \end{array}}} \right .$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为$\rho =6sin\theta $。

1. 【答案】

${x}^{2}+\left ( {{y-3}} \right )^{2}=9$

【解析】

由$\rho =6sin\theta $得${\rho }^{2}=6\rho sin\theta $，

化为直角坐标方程为${x}^{2}+{y}^{2}=6y$，

即${x}^{2}+\left ( {y-3} \right )^{2}=9$。

2. 【答案】

将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得${t}^{2}+2\left ( {cos\alpha -sin\alpha } \right )t-7=0$。

由$\triangle =\left ( {2cos\alpha -2sin\alpha } \right )^{2}+4\times 7\gt 0$，

故可设${t}_{1}$，${t}_{2}$是上述方程的两根，

所以$\left \{ {{\begin{array}{ll} {{t}_{1}+{t}_{2}=-2\left ( {cos\alpha -sin\alpha } \right )} \\\ {{t}_{1}\cdot {t}_{2}=-7} \end{array}}} \right .$，

又直线l过点$\left ( {1，2} \right )$，

故结合t的几何意义得$\left | {PA} \right |+\left | {PB} \right |=\left | {{t}_{1}} \right |+\left | {{t}_{2}} \right |=\left | {{t}_{1}-{t}_{2}} \right |=\sqrt {\left ( {{t}_{1}+{t}_{2}} \right )^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$

$=\sqrt {4\left ( {cos\alpha -sin\alpha } \right )^{2}+28}=\sqrt {32-4sin2\alpha }\geq \sqrt {32-4}=2\sqrt {7}$。

所以$\left | {PA} \right |+\left | {PB} \right |$的最小值为$2\sqrt {7}$。

标签：xOy,array,alpha