2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)及解析
2010年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）cos300°=（）
A．B．﹣C．D．
2．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（?UM）=（）
A．{1，3}B．{1，5}C．{3，5}D．{4，5}
3．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）
A．4B．3C．2D．1
4．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）
A．B．7C．6D．
5．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）的展开式x2的系数是（）
A．﹣6B．﹣3C．0D．3
6．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=lgx．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）
8．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则PF1?PF2=（）
A．2B．4C．6D．8
9．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
10．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）设a=log32，b=ln2，c=，则（）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a
11．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）不等式的解集是．
14．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知α为第二象限的角，则tan2α=．
15．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答）
16．（5分）（2010?全国卷Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2010?全国卷Ⅰ）记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn．
18．（12分）（2010?全国卷Ⅰ）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
19．（12分）（2010?全国卷Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
20．（12分）（2010?全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
21．（12分）（2010?全国卷Ⅰ）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．
22．（12分）（2010?全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．
2010年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】解：∵．
故选C．
【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．
2．（5分）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集意义先求CUM，再根据交集的意义求N∩（CUM）．
【解答】解：（CUM）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（CUM）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．
故选C
【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．
3．（5分）
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y?y=x﹣z，
由图可知，
当直线l经过点A（1，﹣1）时，
z最大，且最大值为zmax=1﹣2×（﹣1）=3．
故选：B．
【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．（5分）
【考点】等比数列．
【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10．
【解答】解：a1a2a3=5?a23=5；
a7a8a9=10?a83=10，
a52=a2a8，
∴，∴，
故选A．
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．
5．（5分）
【考点】二项式定理．
【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．
【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：
①m=1，n=2；②m=2，n=0；
系数分别为：①=﹣12；②=6；
x2的系数是﹣12+6=﹣6
故选A
【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．
6．（5分）
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．
【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
又A1D=A1B=DB=AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°
故选C．
【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
7．（5分）
【考点】函数的值域；函数的图象与图象变化；对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．
【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以lga=lgb，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）2＞4ab=4
∴a+b＞2
故选：C．
（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：，
整理得线性规划表达式为：，
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y?y=﹣x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义，函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab=4，进而解决问题．
8．（5分）
【考点】双曲线的定义；余弦定理．
【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求PF1?PF2的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出PF1?PF2的值．
【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，
由余弦定理得
cos∠F1PF2=
∴PF1?PF2=4．
法2；由焦点三角形面积公式得：
∴PF1?PF2=4；
故选B．
【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．
9．（5分）
【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，
直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，
则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，
直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，
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