原式=1X（1+1）+2X（2+1）+3X（3+1）+...+19X（19+1）
=1X1+2X2+...+19X19+（1+2+...+19）
=19X（19+1）（19X2+1）/6 + 19X（1+19）/2
=190X13+190=190X14=2660
望采纳！谢谢！
1*2+2*3+3*4+.......+19*20
=(1*2*(3-0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+.......+19*20*(21-18))÷3
=(1*2*3+(2*3*4-2*3*1)+(3*4*5-3*4*2)+.......+(19*20*21-19*20*18))÷3
=19*20*21÷3
=19*20*7
=2660
用到2个公式：1+2+...+n=n*(n+1)/2 1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6你的题目里n*(n+1)=n^2+n，1*2+1^2+12*3=2^2+2....19*20=19^2+19所以1*2+2*3+3*4+.......19*20=(1^2+2^2+...+19^2)+(1+2+...+19)=19*20*39/6+19*20/2=2660
利用n*（n+1）=n*n+n
所以1*2+2*3+3*4+4*5+.........+19*20
=（1*1+2*2……+19*19）+（1+2+3……+19）
=19*20*39/6+190
=2470+190
=2660
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